Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. C = {x^2}--4xy + 5{y^2} + 10x--22y + 30.
Giải thích
Ta có \[C = {x^2}--4xy + 5{y^2} + 10x--22y + 30\]
\[ = {x^2}--4xy + 5{y^2} + 10x--22y + 30\]
\[ = {x^2}--2x\left( {2y--5} \right) + {\left( {2y--5} \right)^2} + {\left( {y--1} \right)^2} + 4\]
\[ = {\left( {{\rm{ }}x--2y + 5} \right)^2} + {\left( {{\rm{ }}y--1} \right)^2} + 4 \ge \;4\] với mọi \[x\,;\,\,y.\]
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{ }}x--2y + 5} \right)^2} = 0\\{\left( {{\rm{ }}y--1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x--2y + 5 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 1\end{array} \right.\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[C\] bằng 4 khi \[x = - 3\,;\,\,y = 1\,\].