Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  xy(x – 2)(y + 6) + 12x^2 – 24x + 3^3 + 18y + 2045

Lời giải:

Ta có: B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x² – 24x + 3y³ + 18y + 2045

=(x² – 2x)(y² + 6y) + 12(x² – 2x) + 3(y² + 6y) + 2045

= [(x² – 2x)(y² + 6y) + 3(y² + 6y)] + 12(x² – 2x + 3) + 2009

= (x² – 2x + 3)(y² + 6x) + 12(x² – 2x + 3) + 2009

= (x² – 2x + 3)(y² + 6x + 12) + 2009

= [(x – 1)² + 2] . [(y + 3)² + 3] + 2009

Ta có: (x – 1)² ³ 0, \(\forall \)x Û (x – 1)² + 2 ³ 2

(y + 3)² ³ 0, \(\forall \)y Û (y + 3)² + 3 ³ 3

Suy ra B = [(x – 1)² + 2] . [(y + 3)² + 3] + 2009 ³ 2.3 + 2009 = 2015

Vậy giá trị nhỏ nhất của B = 2015 khi x = 1 và y =-3