Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x ( x − 7 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) .

Hướng dẫn giải

Ta có \(A = x\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right).\)

Đặt \(t = {x^2} - 7x + 6,\) ta có:

⦁ \({x^2} - 7x = t - 6;\)

⦁ \({x^2} - 7x + 12 = t + 6.\)

Khi đó \(A = \left( {t - 6} \right)\left( {t + 6} \right) = {t^2} - 36.\)

Nhận xét: với mọi \(t\) ta có \({t^2} \ge 0\) nên \({t^2} - 36 \ge - 36\) hay \(A \ge - 36.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({t^2} = 0\) hay \({x^2} - 7x + 6 = 0\)

\[\left( {{x^2} - x} \right) - \left( {6x - 6} \right) = 0\]

\[x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\]

Suy ra \(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 6 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A\] bằng \( - 36\) khi \(x \in \left\{ {1;6} \right\}.\)