Tìm giá trị nguyên dương của x để đa thức x^3−3x^2−3x−1 chia hết cho đa thức x^2+x+1.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Để đa thức $x^3-3x^2-3x-1$ chia hết cho đa thức $x^2+x+1$ thì 3⋮\left(x^2+x+1\right)

Tức là $x^2+x+1\in$ Ư$\left(3\right)=\left\{-3;3;-1;1\right\}$.

Do x>0 nên $x^2+x+1>1$

Do đó $x^2+x+1=3$

$x^2+x-2=0$

$x^2-x+2x-2=0$

$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0$

Suy ra $x=1$ (thỏa mãn) hoặc $x=-2$ (loại).

Vậy $x=1$ thì đa thức $x^3-3x^2-3x-1$ chia hết cho đa thức $x^2+x+1$.