Tìm giá trị nguyên dương của x để đa thức x^3 − 3 x^2 − 3 x − 1 chia hết cho đa thức x^2 + x + 1 .

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Để đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\) thì \[3 \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\]

Tức là \({x^2} + x + 1 \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;3; - 1;1} \right\}\).

Do \[x > 0\] nên \({x^2} + x + 1 > 1\)

Do đó \({x^2} + x + 1 = 3\)

\({x^2} + x - 2 = 0\)

\({x^2} - x + 2x - 2 = 0\)

\(x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (loại).

Vậy \(x = 1\) thì đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\).