Tìm giá trị n thuộc N thỏa mãn C(n + 1)^n + 3C(n + 2)^2 = C(n + 1)^3.
Giải thích
Hướng dẫn giải
\[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\,\left( {n \in N,\,n \ge 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6}\]
\[ \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{6}\]
\[ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n\]
\[ \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\\n = 12\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]
Vậy \[n = 12\] là giá trị cần tìm.