Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ 3 sin x + cos x + 4 trên tập xác định của nó.

Ta có:

\(y = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{1}{2}\cos x} \right) + 4 = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin \frac{\pi }{6}\cos x} \right) + 4 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 4\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\,\,\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \( - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 6\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\)

Khi đó GTNN của hàm số bằng 2 đạt được khi

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{2} + k.2\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k.2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\)

GTLN của hàm số bằng 6 đạt được khi

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k.2\pi \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k.2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\)