Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

+) Ta có:

Cnk≤Cnk+1⇔n!k!n−k!≤n!k+1!n−k−1!

⇔k+1!n−k−1!≤k!n−k!

⇔k+1≤n−k⇔2k≤n−1 (*).

– Nếu n lẻ thì *⇔k≤n−12. Từ đây ta có Cnk≥Cnk+1⇔k≥n−12.

⇒Cn0≤Cn1≤...≤Cnn−12≤Cnn+12≤...≤Cnn.

Dấu "=" chỉ xảy ra khi k=n−12.

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là Cnn−12 và Cnn+12.

– Nếu n chẵn thì *⇔k≤n−12=n2−1. Từ đây ta có Cnk≥Cnk+1⇔k≥n2−1.

⇒Cn0≤Cn1≤...≤Cnn2≤...≤Cnn.

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là Cnn2.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

⇒Cn0+Cn1+…+Cnn=4096⇒2n=4096⇒n=12

⇒ Hệ số lớn nhất của khai triển là C126=924.