Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x^3 – 8x^2 – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9]; b) y = −2x^3 + 9x^2 – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4];
a) y = x3 – 8x2 – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9]
Ta có: y' = 3x2 – 16x – 12
y' = 0 ⇔ 3x2 – 16x – 12 = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = \(\frac{{ - 2}}{3}\).
Tính các giá trị, ta được: y(−2) = −15, y\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \(\frac{{139}}{{27}}\) ≈ 5,15, y(6) = −143, y(9) = −26.
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;9]} y = y\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}}\), \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;9]} y\) = y(6) = −143.
b) y = −2x3 + 9x2 – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4].
Ta có: y = −2x3 + 9x2 – 17
y' = −6x2 + 18x
y' = 0 ⇔ −6x2 + 18x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Tính các giá trị, ta được: y(0) = −17, y(3) = 10, y(4) = −1.
Ta có bảng biến thiên:
![Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x^3 – 8x^2 – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9]; b) y = −2x^3 + 9x^2 – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4]; (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/09/blobid25-1726649430.png)
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;4} \right]} y = y\left( 0 \right)\) = −17 và hàm số không có giá trị lớn nhất trên (−∞; 4].
c) y = x3 – 12x + 4 trên đoạn [−6; 3]
Ta có: y' = 3x2 – 12
y' = 0 ⇔ 3x2 – 12 = 0 ⇔ x = ±2.
Tính các giá trị, ta được: y(−6) = −140, y(−2) = 20, y(2) = −12, y(3) = −5.
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} y = y\left( { - 6} \right)\) = −140, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} y = y\left( { - 2} \right)\) = 20.
d) y = 2x3 – x2 – 28x – 3 trên đoạn [−2; 1]
Ta có: y' = 6x2 – 2x – 28
y' = 0 ⇔ 6x2 – 2x – 28 = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = \(\frac{7}{3}\) (loại do x = \(\frac{7}{3}\)∉[−2; 1]).
Tính được các giá trị, ta được: y(−2) = 33, y(1) = −30.
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( 1 \right)\) = −30, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( { - 2} \right)\) = 33.
e) y = −3x3 + 4x2 – 5x – 17 trên đoạn [−1; 2]
Ta có: y' = −9x2 + 8x – 5
y' = 0 ⇔ −9x2 + 8x – 5 = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right)\) = −5, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right)\) = −35.