Tìm giá trị lớn nhất của phân thức A = 3/ x^2 + 4 x+8 x^2 +3

Ta có: \({\rm{A}} = \frac{{3{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 8}}{{{{\rm{x}}^2} + 3}} = \frac{{4\left( {{{\rm{x}}^2} + 3} \right) - {{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 4}}{{{{\rm{x}}^2} + 3}} = 4 - \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 3}}\).

Vì \(\frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 3}} \ge 0\) với mọi giá trị của x nên \(4 - \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 3}} \le 4\) với mọi giá trị của x.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 4 khi x = 2.