Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = (x/(x^2 - 36) - (x - 6)/(x^2 + 6x)) : (2x - 6)/(x^2 + 6x) · (x - 6)/(x^2 - 2x + 5) (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 1,5.

Điều kiện xác định của biểu thức là:

⦁ \({x^2} - 36 \ne 0\), suy ra \(x \ne 6\) và \(x \ne  - 6\);

⦁ \({x^2} + 6x \ne 0\), suy ra \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 6\).

⦁ \(2x - 6 \ne 0\), suy ra \(x \ne 3\).

⦁ \({x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\) (luôn đúng).

Vậy điều kiện xác định: \(x \notin \left\{ {0;\,\,3;\,\,6;\,\, - 6} \right\}.\)

Khi đó, ta có:

\(M = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 36}} - \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 6x}}} \right):\frac{{2x - 6}}{{{x^2} + 6x}} \cdot \frac{{x - 6}}{{{x^2} - 2x + 5}}\)

     \[ = \left[ {\frac{x}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} - \frac{{x - 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{x^2} + 6x}}{{2x - 6}} \cdot \frac{{x - 6}}{{{x^2} - 2x + 5}}\]

     \[ = \frac{{{x^2} - {{\left( {x - 6} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{2x - 6}} \cdot \frac{{x - 6}}{{{x^2} - 2x + 5}}\]

     \[ = \frac{{{x^2} - \left( {{x^2} - 12x + 36} \right)}}{{x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{2x - 6}} \cdot \frac{{x - 6}}{{{x^2} - 2x + 5}}\]

     \[ = \frac{{12\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 6}}{{{x^2} - 2x + 5}}\]

     \( = \frac{6}{{{x^2} - 2x + 5}}.\)

Với \(x \notin \left\{ {0;\,\,3;\,\,6;\,\, - 6} \right\}\) ta có \({x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\).

Vì tử số dương, \(M\) lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất.

Giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{6}{4} = 1,5\) khi và chỉ khi \(x - 1 = 0\), nghĩa là \(x = 1\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của M là 1,5.