Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=5+4xy−10y−x^2−8y^2−2x.

\(A = 5 + 4xy - 10y - {x^2} - 8{y^2} - 2x\)

\( = - \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) - 4{y^2} - 2x - 10y + 5\)

\[ = - {(x - 2y)^2} - 4{y^2} - 2x - 10y + 5\]

Đặt \(u = x - 2y\) nên \(x = u + 2y\), thay vào biểu thức:

\(A = - {(u + 1)^2} - 4{\left( {y + \frac{7}{4}} \right)^2} + \frac{{73}}{4}\)

Vì \( - {(u + 1)^2} \le 0\) và \( - 4{\left( {y + \frac{7}{4}} \right)^2} \le 0\), nên giá trị lớn nhất của \(A\) đạt được khi:

• \(u + 1 = 0\) nên \[x - 2y + 1 = 0\]

• \[y + \frac{7}{4} = 0\] nên \[y = - \frac{7}{4}\]

Thay \(y = - \frac{7}{4}\) vào \(x = 2y - 1\) : \(x = 2\left( { - \frac{7}{4}} \right) - 1 = - \frac{7}{2} - 1 = - \frac{9}{2}\)

Khi đó \({A_{{\rm{max}}}} = \frac{{73}}{4}\) khi \(x = - \frac{9}{2},{\rm{\;}}y = - \frac{7}{4}\).