Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = –2x^2 – 10y^2 + 4xy + 4x + 4y + 2016

A = –2x² – 10y² + 4xy + 4x + 4y + 2016

= –2(x² + 5y² – 2xy – 2x – 2y) + 2016

= –2(x² + y² – 2xy – 2x + 2y + 4y² – 4y + 1) + 2018

= –2(x – y – 1)² – 2(2y – 1)² + 2018.

Vì –2(x – y – 1)² – 2(2y – 1)² ≤ 0 với mọi x, y nên –2(x – y – 1)² – 2(2y – 1)² + 2018 ≤ 2018 với mọi x, y.

Dấu “=” xảy ra khi x – y – 1 = 0 và 2y – 1 = 0, suy ra \({\rm{y}} = \frac{1}{2}\) và \({\rm{x}} = \frac{3}{2}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2018 khi \({\rm{y}} = \frac{1}{2}\) và \({\rm{x}} = \frac{3}{2}.\)