Tìm giá trị của x thỏa mãn | {2x + 3}| + | {2x - 1} | = 8/3 (x+1)^2 +2

Với mọi \[x\] ta có:

• \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right|\]

Hay \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| \ge 4\]           (1)

• \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\)

Suy ra \[\frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le \frac{8}{2} = 4\]          (2)

Từ (1) và (2) ta có để \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}\] thì:

\[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} = 4\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) \ge 0\,\,\,\,\left( * \right)\\{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Giải (**): \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\)

                  \(x + 1 = 0\)

                       \(x = - 1\)

Với \(x = - 1\) thay vào (*) ta được: \(\left[ {2.\left( { - 1} \right) + 3} \right]\left[ {1 - 2.\left( { - 1} \right)} \right] = 3 \ge 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.