Gọi \(x,\,x + 1,\,x + 2,\,x + 3,\,x + 4,\,x + 5,\,x + 6,\,x + 7,\,x + 8\) với \(x\) là số nguyên dương lần lượt là cạnh của các hình vuông đã cho, suy ra \[S = {x^2} + {\left( {\,x + 1} \right)^2} + {\left( {\,x + 2} \right)^2} + {\left( {\,x + 3} \right)^2} + {\left( {\,x + 4} \right)^2} + {\left( {\,x + 5} \right)^2} + \,{\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {\,x + 8} \right)^2}\]

Rút gọn \[S = 9{x^2} + 72x + 204\]. Gọi hình vuông cần tìm có cạnh là \(y\) với \(y\) là số nguyên dương, ta có \[9{x^2} + 72x + 204 = {y^2}\left( 1 \right)\]

Ta có \[9{x^2} + 72x + 204 = 9\left( {{x^2} + 8x + 22} \right) + 6\] chia cho 9 dư 6.

Mặt khác \({y^2}\) chia cho 9 có số dư là \(r \in \left\{ {0;\,1;4;7} \right\}\) suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2) Gọi các số tự nhiên \({a_1},{a_2},...,{a_{17}}\) lần lượt là độ dài đường kính 17 đường tròn đã vẽ và \({r_1},{r_2},...,{r_{17}}\) là số dư khi chia lần lượt \({a_1},{a_2},...,{a_{17}}\) cho 5.

Ta có: \({r_1},{r_2},...,{r_{17}} \in {\rm{\{ }}0;1;2;3;4\} \)

Nếu trong 17 số \({r_1},{r_2},...,{r_{17}}\)tồn tại năm số bằng nhau, chẳng hạn: \({r_1} = {r_2} = {r_3} = {r_4} = {r_5}\)

Thì ta có \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\) chia hết cho 5.

Nếu trong 17 số \({r_1},{r_2},...,{r_{17}}\) không có năm số nào bằng nhau, tức là tối đa 4 số bằng nhau, chẳng hạn có 4 nhóm 4 số bằng nhau, như vậy 17 số dư được phân thành 4 lớp mà mỗi lớp có 4 phần tử và 1 lớp có 1 phần tử với các phần tử đại diện là 0;1;2;3;4. Lúc đó lấy trong mỗi lớp 1 số sẽ được năm số có giá trị đôi một khác nhau. Chẳng hạn \({r_1} \ne {r_2} \ne {r_3} \ne {r_4} \ne {r_5}\)và \({r_1} + {r_2} + {r_3} + {r_4} + {r_5} = 10\) nên \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\) chia hết cho 5.

Tìm giá trị của tham số \(m\)để phương trình \({x^2} - 2x - 3m - 2 = 0\) có nghiệm.