Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = (2(x^2) + 3mx - m + 2)/(x - 1) có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4.

9/35

Tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \[y = \frac{{2{x^2} + 3mx - m + 2}}{{x - 1}}\] có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4.

\[m = - 2\].

\[m = 5\].

\[m = 2\].

\[m = \frac{2}{3}\].

Giải thích

Lời giải

Ta có \[y = \frac{{2{x^2} + 3mx - m + 2}}{{x - 1}} = 2x + 3m + 2 + \frac{{2m + 4}}{{x - 1}}\].

Với \(m = - 2\) thì hàm số trở thành \(y = 2x - 4\). Đây là hàm số bậc nhất nên không có tiệm cận.

Với \(m \ne - 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x + 3m + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2m + 4}}{{x + 2}} = 0\).

Do đó với \(m \ne - 2\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(\Delta \): \(y = 2x + 3m + 2\).

\(\Delta \) cắt trục hoành tại điểm \(A\left( {\frac{{ - 3m - 2}}{2};0} \right)\) và cắt trục tung tại \(B\left( {0;3m + 2} \right)\).

Từ đó \(OA = \frac{{\left| { - 3m - 2} \right|}}{2} = \frac{{\left| {3m + 2} \right|}}{2},\,\,\,OB = \left| {3m + 2} \right|\).

Theo giả thiết \({S_{OAB}} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OA \cdot OB = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {3m + 2} \right|}}{2} \cdot \left| {3m + 2} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left( {3m + 2} \right)^2} = 16\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 2 = - 4\\3m + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\left( {{\rm{loai}}} \right)\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\].

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \[m = \frac{2}{3}\]. Chọn D.