Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^2} + (m - 1)x + 2\) nghịch biến trên khoảng \((1;2)\)

Với mọi \({x_1},{x_2} \in (1;2),{x_1} \ne {x_2}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = (m - 1) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\).

Để hàm số \(y =  - {x^2} + (m - 1)x + 2\) nghịch biến trên khoảng \((1;2)\) thì \((m - 1) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\) với mọi \({x_1},{x_2} \in (1;2)\).

Vì \({x_1},{x_2} \in (1;2)\) nên \(2 < {x_1} + {x_2} < 4\). Ta suy ra \((m - 1) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < m - 3\).

Do đó, \(m - 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.