Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) liên tục trên R

12/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}\,\,khi\,x > 3\\mx + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \le 3\end{array} \right.\). Tìm giá trị của tham số \(m\)để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(\frac{1}{{12}}\).

\( - \frac{7}{4}\).

\(\frac{1}{4}\).

\( - \frac{7}{{12}}\).

Giải thích

Chọn D

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \[\left( { - \infty ;\,3} \right)\] và \[\left( {3;\, + \infty } \right)\].

Xét tính liên tục của hàm số tại \[x = 3\].

Có \[f\left( 3 \right) = 3m + 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{4}\].

Để hàm số liên tục trên \[\mathbb{R}\] thì \[f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 3m + 2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{{12}}\].