Tìm giá trị của biểu thức M

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}\)

\(\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1\)

\(\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}\)

\(\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}\)\(\left( 1 \right)\)

Vì \(a + b + c + d \ne 0\) nên từ \(\left( 1 \right)\) suy ra: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}\) hay \(a = b = c = d\).

Với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) khác 0, thay \(b = a\); \(c = a\) và \(d = a\) vào biểu thức \(M\) ta được:

\(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).

Vậy \(M = 4\).