Tìm điều kiện của tham số m để tam thức bậc hai f(x) = −x^2 − (m + 2)x + 5m − 1 luôn âm với mọi x ∈ R?

1/24

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời rừ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tìm điều kiện của tham số \(m\) để tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 5m - 1\) luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?

\(m \ge 0\).

\(m \le - 24\).

\( - 24 < m < 0\).

Không tồn tại \(m\).

Giải thích

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 5m - 1\) có hệ số \(a = - 1\), \(b = - \left( {m + 2} \right)\), \(c = 5m - 1\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), điều kiện là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta }} < 0}\end{array}} \right.\).

Vì \(a = - 1 < 0\) (luôn đúng), ta xét điều kiện biệt thức \({\rm{\Delta }} < 0\):

\({\rm{\Delta }} = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( {5m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 + 20m - 4 = {m^2} + 24m\).

\({\rm{\Delta }} < 0 \Leftrightarrow {m^2} + 24m < 0 \Leftrightarrow - 24 < m < 0\).

Chọn C.