Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= m{x^3} - ( {m - 1} ){x^2} + 3x - m + 2

3/235

Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x - m + 2$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$?

$m \ge - 5$.

$m \ge 5$.

$0 < m < 5$.

$m \le 5$.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Chia trường hợp với hệ số $a = 0$ và $a \ne 0$. Cô lập tham số $m$

Lời giải
TH1: $m = 0$. Khi $m = 0$ hàm số trở thành : $y = {x^2} + 3x + 2$
$y' = 2x + 3$

$y' = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 3}}{2}$
Ta thấy rằng hàm số $y = {x^2} + 3x + 2$ đồng biến trên khoảng : $\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$ nên hàm sốđồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
$ \Rightarrow $ Giá trị $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: $m \ne 0$
$y' = 3m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ thì $y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$

$3m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2mx + 2x + 3 \ge 0$

$ \Leftrightarrow m\left( {3{x^2} - 2x} \right) + 2x + 3 \ge 0$
$ \Leftrightarrow m\left( {3{x^2} - 2x} \right) \ge - 2x - 3\,\,\,\left( 1 \right)$
Ta thấy $3{x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > \frac{2}{3}}\\{x < 0}\end{array}} \right.$. Vậy trong khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ biểu thức $3{x^2} - 2x > 0$
$ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 2x - 3}}{{3{x^2} - 2x}}\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$
Đặt
Khảo sát hàm số : $f\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{3{x^2} - 2x}}$

$f'\left( x \right) = \frac{{ - 6{x^2} + 18x - 2}}{{{{\left( {3{x^2} - 2x} \right)}^2}}}$
$f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow - 6{x^2} + 18x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 9 + \sqrt {93} }}{6} \notin \left( {1; + \infty } \right)}\\{x = \frac{{ - 9 - \sqrt {93} }}{6} \notin \left( {1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

$Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= m{x^3} - ( {m - 1} ){x^2} + 3x - m + 2 (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
Vậy $m \ge - 5$