Tìm điều kiện của các số hữu tỉ a,b,c sao cho đa thức ax^19 + bx^94 + cx^1994 chia hết cho da thức x2 + x+1

Lời giải:

ax¹⁹ + bx⁹⁴ + cx¹⁹⁹⁴

= a(x¹⁹ – x) + b(x⁹⁴ – x) + c(x¹⁹⁹⁴ – x) + ax + bx + cx²

= ax(x¹⁸ − 1) + bx(x⁹³ − 1) + cx²(x¹⁹⁹² − 1) + c(x² + x + 1) – cx – c + ax + bx

Dễ thấy:

x¹⁸ – 1 ⋮ x² + x + 1

x⁹³ – 1 ⋮ x² + x + 1

x¹⁹⁹² – 1 ⋮ x² + x + 1

Do đó –cx – c + ax + bx = x(a + b − c) – c chính là đa thức dư khi thực hiện phép chia.

Để phép chia là chia hết thì x(a + b − c) – c = 0 với mọi x

⇔ a + b – c = 0 và c = 0

⇔ a + b = c = 0