Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R, nếu một cạnh của hình chữ nhật

23/27

Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính \(R\), nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp?

\(2{R^2}\)

\(5{R^2}\)

\({R^2}\)

\(3{R^2}\)

Giải thích

Chọn C

Gọi \(x\) là độ dài cạnh của hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính của hình tròn \(\left( {0 < x < R} \right)\)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(2\sqrt {{R^2} - {x^2}} \)

Ta có diện tích của hình chữ nhật là: \(S\left( x \right) = 2x\sqrt {{R^2} - {x^2}} \)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

\(S'\left( x \right) = 2\sqrt {{R^2} - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }} = \frac{{2{R^2} - 4{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2{R^2} - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\\x = \frac{{ - R\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R, nếu một cạnh của hình chữ nhật (ảnh 1)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là \({R^2}\).