Tìm điểm M trên bờ biển mà tàu sẽ di chuyển đến sao cho độ dài đường đi của tàu từ A đến B là ngắn nhất.

22/35

Một con tàu muốn xuất phát từ hòn đảo \(A\) trở về bờ biển sau đó di chuyển đến hòn đảo \(B\). Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển, vị trí điểm \(A,\;B\) có tọa độ lần lượt là \(A\left( {0\;;\;0} \right),B\left( {5\;;\; - 1} \right)\), giả sử đường bờ biển có phương trình đường thẳng là \(\Delta :x - y + 3 = 0\). Tìm điểm M trên bờ biển mà tàu sẽ di chuyển đến sao cho độ dài đường đi của tàu từ \(A\) đến \(B\) là ngắn nhất.

\(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\).

\(M\left( {1\;;\;3} \right)\).

\(M\left( {0\;;\;2} \right)\).

\(M\left( {1\;;\;2} \right)\).

Giải thích

Lời giải

Ta nhận thấy hai điểm \(A,\;B\) nằm về cùng một phía của đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \).

Tìm điểm M trên bờ biển mà tàu sẽ di chuyển đến sao cho độ dài đường đi của tàu từ A đến B là ngắn nhất. (ảnh 1)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(H\).

Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {{x_H}\;;\; - {x_H}} \right)\).

Mặt khác, \(H \in \Delta \Rightarrow {x_H} - \left( { - {x_H}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x_H} = - \frac{3}{2}\). Suy ra \(H\left( { - \frac{3}{2}\;;\,\frac{3}{2}} \right)\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 3\;;\;3} \right)\).

Vì \(A,B\) cố định nên độ dài đường đi của tàu ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\(AM + MB\) ngắn nhất.

Ta có \(AM + MB = A'M + MB \ge A'B\).

Vậy \(AM + MB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\[A',M,B\] thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(A'B\) cắt \(\Delta \) tại \(M\).

Phương trình đường thẳng \(A'B\) là \(x + 2y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\). Chọn A.