Tìm cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức: m^2 + n^2  m + n + 8

Lời giải:

Ta có: m² + n² = m + n + 8

Suy ra 4m² – 4m + 1 + 4n² – 4n + 1 = 34

 (2m – 1)² + (2n – 1)² = 34     (1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {2n - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) và \(m,n \in \mathbb{N}\)

Từ (1) suy ra (2m – 1)² £ 34

Suy ra 2m – 1 £ 5 Þ 2m £ 6 Þ m £ 3

+ Khi m = 0 thì m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 8 = 0

D= (-1)² – 4.(-8) = 33 Þ m Ï \(\mathbb{N}\)

+ Khi m = 1 thì: m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 8 = 0

D= (-1)² – 4.(-8) = 33 Þ m Ï \(\mathbb{N}\)

+ Khi m = 2 thì m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 6 = 0 nên \(\left[ \begin{array}{l}n = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\n = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} \right.\)

+ Khi m = 3 thì m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 2 = 0  nên \(\left[ \begin{array}{l}n = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\n = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} \right.\)

Vậy cặp số (m; n) thỏa mãn hệ thức m² + n² = m + n + 8 là (2; 3) và (3; 2)