Tìm các số tự nhiên \[x,\,\,y,\,\,z\] thỏa mãn \[{x^2} + {y^2} = {2023^z} + 35\].

Do vai trò của \[x,\,\,y\] đối xứng nhau nên giả sử \[x \le y\].

Với \[z = 0\] thì

\[{x^2} + {y^2} = 36\].                                                       (1)

Vì \[x \le y\] nên \[{x^2} \le 18 \Rightarrow 0 \le x \le 4\].

Thử trực tiếp, ta được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6\end{array} \right.\] thỏa (1).

Với \[z \ge 1\]:

Do \[2023 \vdots 7,\,\,35 \vdots 7\] nên

\[{x^2} + {y^2} \vdots 7\].                                                   (2)

Đặt \[x = 7a + r,\,\,y = 7b + t\] với \[a,\,\,b,\,\,r,\,\,t\] là các số tự nhiên thỏa\[0 \le r \le 6,\,\,0 \le t \le 6\]. Khi đó

\[{x^2} + {y^2} = 49{a^2} + 14ar + 49{b^2} + 14bt + {r^2} + {t^2}\].      (3)

Từ (2) và (3) suy ra \[{r^2} + {t^2} \vdots 7\].

Thử trực tiếp, ta thấy chỉ có \[r = 0,\,\,t = 0\] thỏa mãn.

Do đó \[x = 7a,\,\,y = 7b\].

Thay vào phương trình ban đầu:

\[49{a^2} + 49{b^2} = {2023^z} + 35 \Leftrightarrow 7\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {289^z}{.7^{z - 1}} + 5\].

          Nếu \[z > 1\] ta có vế trái chia hết cho 7 và vế phải không chia hết cho 7 (vô lý).

          Nếu \[z = 1\] ta có:

\[7\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 289 + 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 42\].

Dễ dàng kiểm tra được phương trình \[{a^2} + {b^2} = 42\] không có nghiệm tự nhiên.

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6\\z = 0\end{array} \right.,\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\].