Tìm các số tự nhiên x, y, z khác 0 biết xyz = 4(x + y + z)

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z

Khi đó xyz = 4(x + y + z) ≤ 12x

⇒ yz ≤ 12

z² ≤ 12 suy ra: z² ∈ {1;4;9} nên z ∈ {1;2;3}

+) Trường hợp 1: z = 1

thì xy = 4(x + y + 1)

⇔ (x − 4)(y − 4) = 20

Nên x – 4 và y − 4 là ước của 20

với x – 4 ≥ y – 4 ≥ −3

Ta có bảng:

x – 4	20	10	5	4
y – 4	1	2	4	5
x	24	14	9	8
y	5	6	8	9

Vậy ta được cặp (x;y) là (24;5); (14;6); (9;8)

Xét tương tự các trường hợp z = 2 và z = 3.