Tìm các số tự nhiên n để mỗi cặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1 ) . a) 3n + 4 và 9n + 5 .

Hướng dẫn giải

a) Gọi ƯCLN\(\left( {3n + 4,\,\,9n + 5} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {9n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(3\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {9n + 12} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \[\left[ {\left( {9n + 12} \right) - \left( {9n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[7\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,7} \right\}.\]

Để \(3n + 4\) và \(9n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 7\), tức là \(\left( {3n + 4} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,\) suy ra \(\left( {3n + 4 - 7} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,\) do đó \(\left( {3n - 3} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,\) hay \(\left( {n - 1} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7\) nên \(n \ne 7k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy \(n \ne 7k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(3n + 4\) và \(9n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau.