Tìm các số tự nhiên n để mỗi cặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1 ) . a) 4 n + 3 và 2 n + 3 .

a) Gọi ƯCLN\(\left( {4n + 2,\,\,2n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left( {4n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta suy ra \(2\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \[\left[ {2\left( {2n + 3} \right) - \left( {4n + 3} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[3\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\]

Để \(4n + 3\) và \(2n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 3\), tức là 2n+3  ⋮  3, suy ra 2n⋮3, do đó n⋮3 hay \(n \ne 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy \(n \ne 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(4n + 3\) và \(2n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.