Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x^4+x^2−y^2−y+20=0

Ta có (1) ⇔x4+x2+20=y2+y

Ta thấy: x4+x2<x4+x2+20≤x4+x2+20+8x2⇔x2(x2+1)<y(y+1)≤(x2+4)(x2+5)

Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau

+ TH1. y(y+1)=(x2+1)(x2+2)⇔x4+x2+20=x4+3x2+2⇔2x2=18⇔x2=9⇔x=±3

Với x2=9 ⇒y2+y=92+9+20⇔y2+y−110=0⇔y=10;y=−11(t.m)

+ TH2 y(y+1)=(x2+2)(x2+3)⇔x4+x2+20=x4+5x2+6⇔4x2=14⇔x2=72 (loại)

+ TH3: y(y+1)=(x2+3)(x2+4)⇔6x2=8⇔x2=43 (loại)

+ TH4: y(y+1)=(x2+4)(x2+5)⇔8x2=0⇔x2=0⇔x=0

Với x2=0 ta có y2+y=20⇔y2+y−20=0⇔y=−5;y=4

Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :

(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).