Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình x^2+ xy - 2y - x - 5 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có \[{x^2}\; + xy - 2y - x - 5 = 0\] nên \[y\left( {x - 2} \right) = - {x^2} + x + 5 & \left( * \right)\]

•Với \(x = 2\) thì \(0 = 3\) (vô lí)

•Với \(x \ne 2\) thì \[y = \frac{{ - {x^2} + x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} = - x - 1 + \frac{3}{{x - 2}}.\]

Để \(y\) nguyên thì \[3\,\, \vdots \,\,\left( {x - 2} \right)\] nên \[\left( {x - 2} \right) \in \] Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,3} \right\}\).

Ta có bảng sau:

\[x - 2\]	\( - 3\)	\( - 1\)	1	3
\[x\]	\( - 1\)	1	3	5

Vậy phương trình có nghiệm là: \[\left( {x\,,\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {3\,,\,\, - 1} \right)\,\,;\,\,\left( {5\,,\,\, - 5} \right)\,\,;\,\,\left( {1\,,\,\, - 5} \right)\,\,;\,\,\left( { - 1\,,\,\, - 1} \right)} \right\}\].