Tìm các số nguyên x sao cho x(x – 1)(x – 7)(x – 8) là số chính phương

Giả sử A = x(x – 1)(x – 7)(x – 8)

A = x(x – 8)(x – 1)(x – 7)

A = (x² – 8x)(x² – 8x + 7)

Đặt a = x² – 8x

Khi đó: A = a(a + 7) = a² + 7a

Để A là số chính phương thì A = b² (b nguyên)

⇒ a² + 7a = b² ⇒ 4a² + 28a + 49 - 49 - 4b² = 0 ⇒ (2a+ 7)² - (2b)² = 49

⇒ (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49

Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}

Trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 .

Cộng vế với vế ⇒ 4a + 14 = 50 ⇒ a = 9 ⇒ b = -12 (nhận)

⇒ x² - 8x = 9

⇒  x² - 8x - 9 = 0

⇒ x = -1; 9

Xét tương tự cho các trường hợp còn lại.