Tìm các số nguyên n sao cho 2n^3 + n^2 + 7n + 1 chia hết cho 2n – 1.

Lời giải

Ta có \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1\)

\( = 2{n^3} - {n^2} + 2{n^2} - n + 8n - 4 + 5\)

\[ = {n^2}\left( {2n - 1} \right) + n\left( {2n - 1} \right) + 4\left( {2n - 1} \right) + 5\]

\( = \left( {2n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 4} \right) + 5\)

Vì (2n – 1)(n² + n + 4) ⋮ 2n – 1

Để 2n³ + n² + 7n + 1 ⋮ 2n – 1

⇔ 5 ⋮ 2n – 1

⇔ 2n – 1 ∈ Ư(5) = {1; 5; –1; –5}

Suy ra 2n ∈ {2; 6; 0; –4}

Hay n ∈ {1; 3; 0; –2}

Vậy n ∈ {1; 3; 0; –2}.