Tìm các số nguyên k để k^4−8k^3+23k^2−26k+10 là số chính phương

Đặt M=k4−8k3+23k2−26k+10 

Ta có M=(k4−2k2+1)−8k(k2−2k+1)+9k2−18k+9=(k2−1)2−8k(k−1)2+9(k−1)2=(k−1)2.(k−3)2+1  

M là số chính phương khi và chỉ khi (k−1)2=0 hoặc (k−3)2+1 là số chính phương.

TH 1. (k−1)2=0⇔k=1. 

TH 2. (k−3)2+1 là số chính phương, đặt (k−3)2+1=m2(m∈ℤ) 

⇔m2−(k−3)2=1⇔(m−k+3)(m+k−3)=1 

Vì m,k∈ℤ⇒m−k+3∈ℤ,m+k−3∈ℤ nên

m−k+3=1m+k−3=1 hoặc m−k+3=−1m+k−3=−1⇔m=1,k=3m=−1,k=3⇒k=3

Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì k4−8k3+23k2−26k+10 là số chính phương