Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x^4 - 3x^3 + ax + b chia hết cho đa thức B(x) = x^2 - 3x + 4

Cách 1: Phương pháp thực hiện phép chia

             Ta có:

⇒x4−3x3+ax+b:x2−3x+4=x2−4 dư ax−12x+b+16.

Để là phép chia hết thì a−12=0b+16=0⇔a=12b=−16

Vậy với a=12 và b=−16 thì phép chia là phép chia hết

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định

Giả sử đa thức x4−3x3+ax+b chia hết cho x2−3x+4, khi đó ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng: Ax2+Bx+C. Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức x4−3x3+ax+b, ta được:

Ax2+Bx+Cx2−3x+4=x4−3x3+ax+b

            ⇔Ax4+Bx3+Cx2−3Ax3−3Bx2−3Cx+4Ax2+4Bx+4C=x4−3x3+ax+b

            ⇔Ax4+B−3Ax3+C−3B+4Ax2+4B−3Cx+4C=x4−3x3+ax+b

               ⇔A=1B−3A=−3C−3B+4A=04B−3C=a4C=b⇔A=1B=0C=−412=a−16=b⇔a=12b=−16

         Vậy với a = 12 và b = -16 thì phép chia là phép chia hết.