Tìm các số nguyên a , b thỏa mãn a ( √ 5 − 1 ) + b ( √ 5 + 1 ) = 2 .

Ta có: \(a\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + b\left( {\sqrt 5 + 1} \right) = 2\)

\(a\sqrt 5 - a + b\sqrt 5 + b = 2\)

Suy ra \[\left( {a + b} \right)\sqrt 5 = 2 + a - b\] \(\left( 1 \right)\)

Do \(a,\,b\) là các số nguyên nên \(2 + a - b\) là số nguyên.

Suy ra \[\left( {a + b} \right)\sqrt 5 \] là số nguyên.

Điều này xảy ra khi \[\left( {a + b} \right)\sqrt 5 = 0\] hay \[a + b = 0\]

Từ đó \(b = - a\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(2 + a - \left( { - a} \right) = 0\)

Do đó \(a = - 1\) nên \(b = 1\).

Vậy \(a = - 1\), \(b = 1\).