Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0=0 luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của ai, i=2n+1, 0¯

Chứng minh:

+ Xét hàm số fx=a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0 đây là hàm đa thức, xác định trên R nên liên tục trên R

Ta có: limx→+∞fx=limx→+∞a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0=+∞ nên tồn tại x1∈ℝ sao cho fx1>0

limx→−∞fx=limx→+∞a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0=−∞ nên tồn tại x2∈ℝ sao cho fx2<0

Do đó tồn tại x0∈x1; x2 sao cho fx0=0

Vậy phương trình đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của ai, i=2n+1, 0¯

Áp dụng:

Đặt fx=m2−5x+6x+52019x2020+2x+2x−1 Hàm số f(x) liên tục trên R

+ Xét m2−5m+6⇔m=2m=3. Khi đó phương trình trở thành 2x−1=0⇔x=12

+ Xét m2−5m+6≠0⇒m≠2m≠3.

Hàm f(x) có bậc cao nhất là 2019+2020=4039 là đa thức bậc lẻ nên f(x)=0 có ít nhất một nghiệm với ∀m∈ℝ

Tìm các giới hạn sau: b, lim 1+2+2^2 +...+2^n/ 1+3+3^2 +...+3^n