Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x-3/ x-2 và đường thẳng: y = 3x+m c

88/235

Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x - 2}$ và đường thẳng: y = 3x+m cắt nhau tại hai điểm phân biệt (A;B) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: _____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "29/5"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Lời giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{x - 3}}{{x - 2}} = 3x + m \Leftrightarrow x - 3 = \left( {x - 2} \right)\left( {3x + m} \right)$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} + mx - 6x - 2m - x + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} + mx - 7x - 2m + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} + \left( {m - 7} \right)x - 2m + 3 = 0$(1)

Để đồ thị hai hàm số có hai giao điểm thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 + 2\left( {m - 7} \right) - 2m + 3 \ne 0}\\{{m^2} + 10m + 13 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 5 - 2\sqrt 3 }\\{m > - 5 + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$. Theo hệ thức Viet ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{7 - m}}{3}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2m + 3}}{3}}\end{array}} \right.$

Giả sử: $A\left( {{x_1};3{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};3{x_2} + m} \right)$

Ta có:

\[AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {3{x_2} - 3{x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {10{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {10{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {10{{\left( {\frac{{7 - m}}{3}} \right)}^2} - 4\left( {\frac{{ - 2m + 3}}{3}} \right)} \]

\[ = \sqrt {\frac{{10}}{9}{m^2} - \frac{{116}}{9}m + \frac{{454}}{9}} \]

$AB$ nhỏ nhất khi $m = \frac{{29}}{5}$