Tìm các giá trị nguyên x,y thỏa mãn: 4{x - 2022)^2} + {y^2} = 25

\(4{(x - 2\,022)^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow 4{(x - 2\,022)^2} = 25 - {y^2}.\)

+) Ta có \(4{(x - 2\,022)^2} \ge 0 \Rightarrow 25 - {y^2} \ge 0 \Rightarrow {y^2} \le 25.\)

+) Vì \(x \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow 4{(x - 2\,022)^2} \vdots 4 \Rightarrow 25 - {y^2} \vdots 4\)

\( \Rightarrow {y^2}\) chia \(4\) dư \(1.\)

+) Suy ra \({y^2}\) là số chính phương thỏa mãn \({y^2} \le 25,\,\,{y^2}\) chia \(4\) dư \(1\)\( \Rightarrow {y^2} \in \left\{ {1;\,\,9;\,\,25} \right\}.\)

+) Xét ba trường hợp \({y^2} = 1,\,\,{y^2} = 9,\,\,{y^2} = 25\) tính được kết quả:

\(\left( {x,y} \right)\) thuộc tập hợp sau:\(\{ \left( {2\,024;3} \right);\left( {2\,024; - 3} \right);\left( {2\,020;3} \right)\);

\(\left( {2\,020; - 3} \right);\left( {2\,022;5} \right);\left( {2\,022; - 5} \right)\} .\)