Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f(x) = (x + căn bậc hai (2 − x))/(x^2 − x − 6) khi x < −2, m^2x + 1 khi x ≥ −2 có giới hạn hữu hạn khi x dần tới −2.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = - 2{m^2} + 1\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x + \sqrt {2 - x} }}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {x + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}} = - \frac{3}{{20}}\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to - 2\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right)\)

\( - 2{m^2} + 1 = - \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow 2{m^2} = \frac{{23}}{{20}} \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{23}}{{40}}\)\( \Leftrightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {230} }}{{20}}\).

Vậy \(m = \pm \frac{{\sqrt {230} }}{{20}}\).