Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x^4-2m^2x^2+m^4+1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

36/50

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x4−2m2x2+m4+1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

m=±1.

m=−1.

m=1.

Không tồn tại m.

Giải thích

Đáp án A

Ta có

y'=4x3−4m2x=0⇔4x(x2−m2)=0⇔[x=0x2=m2

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là

m2>0⇔m≠0⇒[x=0⇒y=m4+1x=m⇒y=1x=−m⇒y=1

Gọi A(0;m4+1);B(−m;1);C(m;1) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Vì B, C đối xứng nhau qua trục Oy và O,A∈Oy nên {OB=OCAB=AC

Lại có cạnh OA chung nên ΔBAO=ΔCAO (c-c-c) suy ra OBA=OCA,

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x^4-2m^2x^2+m^4+1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành một tứ giác nội tiếp. (ảnh 1)

mà tứ giác OBAC nội tiếp nên OBA+OCA=180°⇒OBA=OCA=90°

Hay AB⊥OB⇒AB→.OB→=0

Ta có AB→=(−m;−m4);OB→=(−m;1)⇒AB→.OB→=m2−m4=0

⇔m2(1−m2)=0⇔[m=0(L)m=1(TM)m=−1(TM)

Vậy m=±1.