Tìm các giá trị của tham số a để hàm số f(x) = (x^2 − 5x + 6)/(x − căn bậc hai (4x − 3)) khi x > 3, a^2x − 1 khi x ≤ 3 có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 3.

Hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {{a^2}x - 1} \right) = 3{a^2} - 1\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - \sqrt {4x - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {4x - 3} } \right)}}{{\left( {x - \sqrt {4x - 3} } \right)\left( {x + \sqrt {4x - 3} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {4x - 3} } \right)}}{{{x^2} - 4x + 3}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {4x - 3} } \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {4x - 3} } \right)}}{{x - 1}} = 3\).

Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) hữu hạn thì \(3{a^2} - 1 = 3 \Leftrightarrow 3{a^2} = 4 \Leftrightarrow {a^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy các giá trị \(a\) cần tìm là \(a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \(a = - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).