Tìm các giá trị của m để phương trình sin x = m − 2 có hai nghiệm phân biệt trên khoảng ( π/ 6 ; 2 π/ 3 ) ?

a) Xét hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\), dễ thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1\).

b) Điều kiện: \(\sin x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)

Với điều kiện trên, phương trình trở thành \[\tan x = \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\;\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Kết hợp điều kiện, ta được các nghiệm là \(x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \({x_0} = \frac{{4\pi }}{3}\).

c) Ta có: \(7 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 13,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365\)

Theo đề bài ta có:

 \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] =  - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t =  - 21 + k324\).

Với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\), ta được \(t = 303\).

Vậy vào ngày thứ \(303\), thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.