Tìm ba số thực phân biệt x , y , z lập thành một cấp số nhân, biết rằng x , 2y và 3z cũng lập thành một cấp số cộng và x + 1 , y + 2 và z + 1 cũng lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Vì \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân nên \(y = xq\), \(z = yq = x{q^2}\), \(q \ne 0\).

Vì \(x,2y,3z\) lập thành cấp số cộng nên \(2y - x = 3z - 2y \Leftrightarrow 3z - 4y + x = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x{q^2} - 4xq + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3{q^2} - 4q + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{q^2} - 4q + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(x = 0\) thì \(y = z = 0\), điều này mâu thuẫn với đề bài là \(x\), \(y\), \(z\) phân biệt.

Khi đó \(3{q^2} - 4q + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3q - 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\q = 1\end{array} \right.\).

Vì \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số thực phân biệt nên \(q \ne 1\), do đó \(q = \frac{1}{3}\), hay \(y = \frac{x}{3},z = \frac{x}{9}\).

Mặt khác, \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân nên ta có:

\(\frac{{y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{z + 1}}{{y + 2}} \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)^2} = \left( {\frac{x}{9} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{4x}}{3} + 4 = \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{10x}}{9} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{9} = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{{27}}{2}\)

\( \Rightarrow y = - \frac{9}{2};z = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{27}}{2}; - \frac{9}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).