Tìm a,b để các hàm số sau có đạo hàm trên R. f(x) = {x^2} - x + 1 khi x nhỏ hơn hoặc bằng 1; - x^2 + ax + b khi x > 1 A. a = 13; b = - 1 B. a = 3; b = - 11 C. a = 23; b = - 21

109/110

Tìm \(a,b\) để các hàm số sau có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\rm{ }}\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ - {x^2} + ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 11\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 23\\b = - 21\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\)

Giải thích

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \) hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b - 1\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow a + b - 1 = 1 \Leftrightarrow a + b = 2\)

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = 1;{\rm{ }}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + ax + 1 - a}}{{x - 1}} = a - 2\)

Nên hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\a - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\).