Cho ΔABC nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. (a) Chứng minh 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc 1 đường tròn. (b) Kẻ đường kính AQ đường tròn (O). Chứng minh và OA⊥EF. (ảnh 1)

a) Lập luận được 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính \[BC\].

b) Chứng minh được 2 góc \[\widehat {ABD} = \widehat {AQC}\] vì cùng chắn .

Chứng minh (g – g)

Gọi \[J\] giao điểm \[OA\] với \[EF\].

Chứng minh \[\widehat {AEJ} = \widehat {AHF}\]

Chứng minh

Suy ra \[\widehat {AEJ} = \widehat {AHF} = \widehat {ABD} = \widehat {AQC}\]

Mà \[\widehat {QAC} + \widehat {AQC} = {90^o}\]

Suy ra \[\widehat {AEJ} + \widehat {JAE} = {90^o}\]

Nên \[OA \bot EF\] (\[\widehat {AJE} = {90^o}\])

c) Ta có \[\Delta BOC\] cân tại \[O\], \[OM\] là trung tuyến nên \[OM\] cũng là đường phân giác, đường cao.

Do đó, \[\widehat {BAC} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\]

Tương tự: \[\widehat {BAC} + \widehat {ACF} = \widehat {MOC} + \widehat {OCM} = {90^o}\]

Nên \[\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\left( 1 \right)\]

Xét tứ giác \[OMIC\] có: \[\widehat {OMC} = \widehat {OIC} = {90^o}\]

Suy ra tứ giác \[OMIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\].

Do đó \[\widehat {OCM} = \widehat {OIM}\] (cùng chắn ) \[\left( 2 \right)\]

Xét tứ giác \[AFIC\] có: \[\widehat {AFI} = \widehat {AIC} = {90^o}\]

Suy ra tứ giác \[AFIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\]

Do đó \[\widehat {AIF} = \widehat {ACF}\] (cùng chắn )\[\left( 3 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\] suy ra \[\widehat {AIF} = \widehat {OIM}\]

Do đó, 2 tia \[IF\] và \[IM\] trùng nhau.

Vậy 3 điểm \[F,M,I\] thẳng hàng

Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 2027 và tích của chúng bằng 2026.