Tích vô hướng −−→ B A ⋅ −−→ B D = m a 2 và −−→ A C ⋅ −−→ B D = n a 2 thì giá trị của biểu thức m + n là:

69/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 68 đến 69

Cho hình thang ABCDvuông tại A và B có đáy lớn\(BC = 3a\), đáy nhỏ\(AD = a\), đường cao\(AB = 2a\).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BD} = m{a^2}\) và \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = n{a^2}\) thì giá trị của biểu thức \(m + n\) là:

\(5\).

\(4\).

\(3\).

\(1\).

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = {\rm{BA}} \cdot {\rm{BD}} \cdot {\rm{cos}}\widehat {AB{\rm{D}}}\)\( = BA \cdot B{\rm{D}} \cdot \frac{{BA}}{{B{\rm{D}}}} = B{A^2} = 4{a^2}\). Suy ra \(m = 4\).

Lại có \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \underbrace {\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} }_0 - \underbrace {\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AD} }_0 + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} \)

\( = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos 0^\circ - {\overrightarrow {AB} ^2} = BC \cdot AD - A{B^2}\)\( = 3a \cdot a - 4{a^2} = - {a^2}\). Suy ra \(n = - 1\).

Vậy \(m + n = 4 - 1 = 3\). Chọn C.