Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng

Phương pháp giài

Sử dụng công thức \({\rm{cos}}\left( {{{\rm{\Delta }}_1};{{\rm{\Delta }}_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\) với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là VTCP của \({{\rm{\Delta }}_1};{{\rm{\Delta }}_2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + at}\\{y = 7 - 2t}\end{array}{\rm{\;}}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {a\;; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) có vectơ chỉ phương là \(\vec v = \left( {4{\rm{\;}}; - 3} \right)\).

Ta có \({\rm{cos}}\varphi = \left| {{\rm{cos}}\left( {\vec u,\vec v} \right)} \right| \Leftrightarrow {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\left| {\vec u \cdot \vec v} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {4a + 6} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4} = \sqrt 2 \left| {4a + 6} \right| \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 32{a^2} + 96a + 72\)\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{2}{7}}\\{a = - 14}\end{array}} \right.\)vậy tích các giá trị bằng -4.