Tích các nghiệm của phương trình (x + 2)(x + 3)(x + 5)(x + 6) = 504 bằng bao nhiêu?
Đáp án: −9
Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504\)
\(\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \right] = 504\)
\(\left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = 504\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(t = {x^2} + 8x\), phương trình \(\left( * \right)\) trở thành\(\left( {t + 12} \right)\left( {t + 15} \right) = 420\)
\({t^2} + 27t + 180 = 504\)
\({t^2} + 27t - 324 = 0\)
\(\left( {t - 9} \right)\left( {t + 36} \right) = 0\)
\(t = 9\) hoặc \(t = - 32.\)
Ta xét hai trường hợp sau:
Với \(t = 9\) ta có: \({x^2} + 8x = 9\) \({x^2} + 8x - 9 = 0\) \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 9} \right) = 0\) \(x = 1\) hoặc \(x = - 9.\) | Với \(t = - 32\) ta có: \({x^2} + 8x = - 32\) \({x^2} + 8x + 32 = 0\) \(\left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 16 = 0\) \({\left( {x + 4} \right)^2} + 16 = 0\,\,\,\left( {***} \right)\) |
Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R},\) nên phương trình \(\left( {***} \right)\) vô nghiệm.
Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là: \(1 \cdot \left( { - 9} \right) = - 9.\)