Tỉ số A N /A C bằng

71/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 70 đến 71

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB = 6\,cm,\]\[AC = 8\,cm\] và \(\widehat A = 60^\circ .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Qua \(B\) kẻ một đường thẳng vuông góc với \(AM\), cắt \(AC\)tại \(N\). Tỉ số \(\frac{{AN}}{{AC}}\) bằng

\[\frac{{15}}{{22}}\].

\[\frac{7}{{22}}\].

\[\frac{3}{4}\].

\(\frac{2}{3}\).

Giải thích

C (ảnh 1)

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \), \(\frac{{AN}}{{AC}} = x \Rightarrow \overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = x\overrightarrow b \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\),

\(\overrightarrow {BN} = \left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} } \right) = \left( {x\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right)\).

\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 24\).

Có \(AM \bot BN \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BN} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {x\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) = 0\)\[ \Leftrightarrow x \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + x \cdot {\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\]\[ \Leftrightarrow 88x - 60 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{{22}}\].

Vậy \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{15}}{{22}}\). Chọn A.